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頂点の周りがどこも同じ形の立体

4次元一様多面体とはどんな立体か?

4次元になっても、定義は同じです。つまり多面体をみまわして、どの頂点の真上からみても、同じ形にみえる。こんなふうに、どこからみても一様である形、それが一様多面体です。ただし、鏡像はこの場合、同じ形とみなします。

多室体(Polychoron)の定義

4次元多面体のことをPolychoron(ポリコロン)といいます。この言葉は、かなり最新の用語であるため、定着した日本語訳があるのか寡聞にして知りません。とりあえず、多室体と訳しておきます。choronの意味が「部屋」であることからつけました。ポリコロンは閉じた4次元の形で、胞によって境界づけられています。次の基準に従います。

  1. 各面は厳密に2つのセルによってつながっていなくてはならない。

  2. 隣接する胞は共領域でない。(同じ領域でない。ちょうど3次元のときに同一平面上にあってはいけなかったように、同一の3次元空間上にあってはいけないという意味です。)。

  3. 上の2つの基準を満たす立体を複合した形であってはいけない

胞は多面体に限りません。外多面体(Exopolyhedron)も認められます。外多面体とは、閉じた非多面体である3次元の形です。各辺に偶数個の面がくっついたような形のことです。その面は同一平面上にあってはいけません。 多面体は各辺には2つの面だけが接触しています。外多面体を胞として持つポリコロンはエキゾチック多室体(Exotic Polychoron)と呼ばれます。 8186個の一様多室体(エキゾチック多室体を含む)が存在します。 多室体が一様であるには、それは頂点が推移的でなければならず(どの頂点も同等であること)、各胞が一様でなければなりません。 多面体または外多面体が、一様であるとは、頂点が推移的で、面がすべて正多角形であるということです。

一様多室体(Uniform Polychoron)の定義

  1. 3次元一様多面体と3次元一様外多面体だけからできています。

  2. 頂点の周りが同じ形をしています。

  3. 頂点の周りだけでなく、どの頂点の真上から立体をみても同じ形になる必要があります。その立体のある頂点を他のどの頂点に重ね合わせても、回転させて元の立体にぴったり重なるようでないとダメです。鏡像を作れば、ぴったり重なる場合は、それも可とします。

  4. 凸多面体である必要はありません。非凸の場合、立体が他の立体をつきぬけて交差します。

一様多室体にはどんなものがあるか?

詳しく説明したいのですが、何分にも8186種もあるため、どんな立体であるかを文章で書くだけでも大変です^^; なので少しだけ紹介します。これらの立体はまだこれといった日本語名がついていないと思われるので、私が適当につけておきました。1〜6の立体が凸正多室体です、7〜16の立体が非凸正多室体です。

  1. 5室体(Pen: Pentachoron)、5胞体(5-cell)
    5つの正4面体から成ります。頂点の形は、正4面錐(正4面体を底とする4次元の錐)状です。5頂点、10辺、10面。
  2. 4放体(Tes: Tesseract)
    8つの立方体から成ります。頂点の形は正4面錐状です。16頂点、32辺、24面。
  3. 16室体(Hex: Hexadecachoron)、16胞体(16-cell)
    16個の正4面体から成ります。頂点の形は正8面錐状です。8頂点、24辺、32面。
  4. 24室体(Ico: Icositetrachoron)、24胞体(24-cell)
    24個の正8面体から成ります。頂点の形は立方体錐状です。 24頂点、96辺、96面。
  5. 120室体(Hi: Hecatonicosachoron)、120胞体(120-cell)
    120個の正12面体から成ります。頂点の形は、正4面錐状です。600頂点、1200辺、720面。
  6. 600室体(Ex: Hexacosichoron)、600胞体(600-cell)
    600個の正4面体から成ります。頂点の形は、正20面錐状です。120頂点、720辺、1200面。
  7. 切り子600室体(Fix: Faceted Hexacosichoron)、20面体120室体(Icosahedral Hecatonicosachoron)
    120個の正20面体から成ります。頂点の形は、大12面錐状です。120頂点、720辺、1200面の立体です。
  8. 大120室体(Gohi: Great Hecatonicosachoron)
    120個の大12面体から成ります。頂点の形は、小星形12面錐状です。120頂点、720辺、720面の立体です。
  9. 壮大120室体(Gahi: Grand Hecatonicosachoron)
    120個の正20面体から成ります。頂点の形は、大20面錐状です。120頂点、720辺、720面。
  10. 小星形120室体(Sishi: Small Stellated Hecatonicosachoron)
    120個の小星形12面体から成ります。頂点の形は正12面錐状です。120頂点、1200辺、720面。
  11. 大壮大120室体(Gaghi: Great Grand Hecatonicosachoron)
    120個の大12面体から成ります。頂点の形は大星形12面錐状です。120頂点、1200辺、720面。
  12. 大星形120室体(Gishi: Great Stellated Hecatonicosachoron)
    120個の大星形12面体から成ります。頂点の形は正20面錐状です。120頂点、720辺、720面。
  13. 壮大星形120室体(Gashi: Grand Stellated Hecatonicosachoron)
    120個の小星形12面体から成ります。頂点の形は、大12面錐状です。120頂点、720辺、720面。
  14. 大切り子600室体(Gofix: Great Faceted Hexacosichoron)、大20面体120室体(Great Icosahedral Hecatonicosachoron)
    120個の大20面体から成ります。頂点の形は、小星形12面錐状です。120頂点、720辺、1200面。
  15. 大600室体(Gax: Grand Hexacosichoron)
    600個の正4面体から成ります。頂点の形は、大20面錐状です。120頂点、720辺、1200面。
  16. 大壮大星形120室体(Gogishi: Great Grand Stellated Hecatonicosachoron)
    120個の大星形12面体から成ります。頂点の形は、正4面錐状です。600頂点、1200辺、720面。
  17. 4放体半8室体(Tho: Tesseractihemioctachoron)
    8個の正4面体と4つの正8面体から成ります。頂点の形は4半6面錐状です。8頂点、24辺、32面。
  18. 小複合120室体(Sachi: Small Complexihecatonicosachoron)
    120個の複合20面体(Complex Icosidodecahedron)から成ります。複合20面体とは、外多面体で、正20面体と大12面体の面を合わせた形です。 頂点の形は一見、大12面錐状ですが、内部が異なっています。120頂点、720辺、1200個の正3角形、720個の正5角形。この形の外見は切り子600室体のように見えますが、内部が異なっています。
  19. 大複合120室体(Gachi: Great Complexihecatonicosachoron)
    120個の大複合20面体(Great Complex Icosidodecahedron)から成ります。大複合20面体は外多面体で、小星形12面体と大20面体を合わせた形です。頂点の形は一見、大12面錐状に見えますが、内部が異なっています。120頂点、720辺、1200個の正3角形と720個の正5/2角形。

いずれもう少し詳しく説明したいのですが、4次元についてはとりあえずこれで終りにします。5次元以上の場合についても説明したいのですが、私の不勉強のためよくわかりません^^; 5次元以上の場合、正多胞体に限ってなら、標準多胞体と呼ばれる3種類しかなく、星形正多胞対もありえないことがわかっています。ただし高次元一様多胞体については、私が不勉強のためあるのかないのかも、研究されつくしているテーマなのかも知りません^^; ただしいえることは一様多室体の研究もつい最近のものであることを考えると、5次元多胞体の研究はされていたとしてもつい最近の研究であると思います^^;
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