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頂点の周りがどこも同じ形の立体

４次元一様多面体とはどんな立体か？

４次元になっても、定義は同じです。つまり多面体をみまわして、どの頂点の真上からみても、同じ形にみえる。こんなふうに、どこからみても一様である形、それが一様多面体です。ただし、鏡像はこの場合、同じ形とみなします。

多室体(Polychoron)の定義

４次元多面体のことをPolychoron（ポリコロン）といいます。この言葉は、かなり最新の用語であるため、定着した日本語訳があるのか寡聞にして知りません。とりあえず、多室体と訳しておきます。choronの意味が「部屋」であることからつけました。ポリコロンは閉じた４次元の形で、胞によって境界づけられています。次の基準に従います。

  1. 各面は厳密に２つのセルによってつながっていなくてはならない。

  2. 隣接する胞は共領域でない。（同じ領域でない。ちょうど３次元のときに同一平面上にあってはいけなかったように、同一の３次元空間上にあってはいけないという意味です。）。

  3. 上の２つの基準を満たす立体を複合した形であってはいけない

胞は多面体に限りません。外多面体(Exopolyhedron)も認められます。外多面体とは、閉じた非多面体である３次元の形です。各辺に偶数個の面がくっついたような形のことです。その面は同一平面上にあってはいけません。 多面体は各辺には２つの面だけが接触しています。外多面体を胞として持つポリコロンはエキゾチック多室体(Exotic Polychoron)と呼ばれます。 ８１８６個の一様多室体(エキゾチック多室体を含む)が存在します。 多室体が一様であるには、それは頂点が推移的でなければならず（どの頂点も同等であること）、各胞が一様でなければなりません。 多面体または外多面体が、一様であるとは、頂点が推移的で、面がすべて正多角形であるということです。

一様多室体(Uniform Polychoron)の定義

  1. ３次元一様多面体と３次元一様外多面体だけからできています。

  2. 頂点の周りが同じ形をしています。

  3. 頂点の周りだけでなく、どの頂点の真上から立体をみても同じ形になる必要があります。その立体のある頂点を他のどの頂点に重ね合わせても、回転させて元の立体にぴったり重なるようでないとダメです。鏡像を作れば、ぴったり重なる場合は、それも可とします。

  4. 凸多面体である必要はありません。非凸の場合、立体が他の立体をつきぬけて交差します。

一様多室体にはどんなものがあるか？

詳しく説明したいのですが、何分にも８１８６種もあるため、どんな立体であるかを文章で書くだけでも大変です^^;　なので少しだけ紹介します。これらの立体はまだこれといった日本語名がついていないと思われるので、私が適当につけておきました。１〜６の立体が凸正多室体です、７〜１６の立体が非凸正多室体です。

  1. ５室体(Pen: Pentachoron)、５胞体(5-cell)
    ５つの正４面体から成ります。頂点の形は、正４面錐（正４面体を底とする４次元の錐）状です。５頂点、１０辺、１０面。
  2. ４放体(Tes: Tesseract)
    ８つの立方体から成ります。頂点の形は正４面錐状です。１６頂点、３２辺、２４面。
  3. １６室体(Hex: Hexadecachoron)、１６胞体(16-cell)
    １６個の正４面体から成ります。頂点の形は正８面錐状です。８頂点、２４辺、３２面。
  4. ２４室体(Ico: Icositetrachoron)、２４胞体(24-cell)
    ２４個の正８面体から成ります。頂点の形は立方体錐状です。 ２４頂点、９６辺、９６面。
  5. １２０室体(Hi: Hecatonicosachoron)、１２０胞体(120-cell)
    １２０個の正１２面体から成ります。頂点の形は、正４面錐状です。６００頂点、１２００辺、７２０面。
  6. ６００室体(Ex: Hexacosichoron)、６００胞体(600-cell)
    ６００個の正４面体から成ります。頂点の形は、正２０面錐状です。１２０頂点、７２０辺、１２００面。
  7. 切り子６００室体(Fix: Faceted Hexacosichoron)、２０面体１２０室体(Icosahedral Hecatonicosachoron)
    １２０個の正２０面体から成ります。頂点の形は、大１２面錐状です。１２０頂点、７２０辺、１２００面の立体です。
  8. 大１２０室体(Gohi: Great Hecatonicosachoron)
    １２０個の大１２面体から成ります。頂点の形は、小星形１２面錐状です。１２０頂点、７２０辺、７２０面の立体です。
  9. 壮大１２０室体(Gahi: Grand Hecatonicosachoron)
    １２０個の正２０面体から成ります。頂点の形は、大２０面錐状です。１２０頂点、７２０辺、７２０面。
  10. 小星形１２０室体(Sishi: Small Stellated Hecatonicosachoron)
    １２０個の小星形１２面体から成ります。頂点の形は正１２面錐状です。１２０頂点、１２００辺、７２０面。
  11. 大壮大１２０室体(Gaghi: Great Grand Hecatonicosachoron)
    １２０個の大１２面体から成ります。頂点の形は大星形１２面錐状です。１２０頂点、１２００辺、７２０面。
  12. 大星形１２０室体(Gishi: Great Stellated Hecatonicosachoron)
    １２０個の大星形１２面体から成ります。頂点の形は正２０面錐状です。１２０頂点、７２０辺、７２０面。
  13. 壮大星形１２０室体(Gashi: Grand Stellated Hecatonicosachoron)
    １２０個の小星形１２面体から成ります。頂点の形は、大１２面錐状です。１２０頂点、７２０辺、７２０面。
  14. 大切り子６００室体(Gofix: Great Faceted Hexacosichoron)、大２０面体１２０室体(Great Icosahedral Hecatonicosachoron)
    １２０個の大２０面体から成ります。頂点の形は、小星形１２面錐状です。１２０頂点、７２０辺、１２００面。
  15. 大６００室体(Gax: Grand Hexacosichoron)
    ６００個の正４面体から成ります。頂点の形は、大２０面錐状です。１２０頂点、７２０辺、１２００面。
  16. 大壮大星形１２０室体(Gogishi: Great Grand Stellated Hecatonicosachoron)
    １２０個の大星形１２面体から成ります。頂点の形は、正４面錐状です。６００頂点、１２００辺、７２０面。
  17. ４放体半８室体(Tho: Tesseractihemioctachoron)
    ８個の正４面体と４つの正８面体から成ります。頂点の形は４半６面錐状です。８頂点、２４辺、３２面。
  18. 小複合１２０室体(Sachi: Small Complexihecatonicosachoron)
    １２０個の複合２０面体(Complex Icosidodecahedron)から成ります。複合２０面体とは、外多面体で、正２０面体と大１２面体の面を合わせた形です。 頂点の形は一見、大１２面錐状ですが、内部が異なっています。１２０頂点、７２０辺、１２００個の正３角形、７２０個の正５角形。この形の外見は切り子６００室体のように見えますが、内部が異なっています。
  19. 大複合１２０室体(Gachi: Great Complexihecatonicosachoron)
    １２０個の大複合２０面体(Great Complex Icosidodecahedron)から成ります。大複合２０面体は外多面体で、小星形１２面体と大２０面体を合わせた形です。頂点の形は一見、大１２面錐状に見えますが、内部が異なっています。１２０頂点、７２０辺、１２００個の正３角形と７２０個の正５／２角形。

いずれもう少し詳しく説明したいのですが、４次元についてはとりあえずこれで終りにします。５次元以上の場合についても説明したいのですが、私の不勉強のためよくわかりません^^;　５次元以上の場合、正多胞体に限ってなら、標準多胞体と呼ばれる３種類しかなく、星形正多胞対もありえないことがわかっています。ただし高次元一様多胞体については、私が不勉強のためあるのかないのかも、研究されつくしているテーマなのかも知りません^^;　ただしいえることは一様多室体の研究もつい最近のものであることを考えると、５次元多胞体の研究はされていたとしてもつい最近の研究であると思います^^;
自作ソフトの説明に(/*⌒-⌒)oレッツゴー♪