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正多面体とは何か?

お星様キラキラ♪ 金銀砂子♪

プラトンの立体は「狭義の正多面体」と呼ばれています。それは凸多面体に範囲を限っているためです。凸多面体でない正多面体のことを星形正多面体(ほしがたせいためんたい)といいます。これとプラトンの立体を合わせたものが正多面体のすべてです。

プラトンの立体 ┓       
        ┣━━ 正多面体
星形正多面体  ┛       

プラトンの正多面体の条件から「凸多面体」であるという条件を取り除くと正多面体の定義になります。

凸という条件を省いたので、デコボコした形になります。まるでお星様みたいな形なので、星形多面体(Stellated Polyhedron)って呼ばれています。

星形正多面体

星形正多面体には、ケプラー(Kepler)の考えた

と、ポワンソ(Poinsot)の考えた

があります。これら4つプラス5つのプラトンの立体で、正多面体の個数は全部で9つです。

注意:ポワンソはポワソンではなくポワンソです。ポワソソでもポワンンでもありません^^;

クリックで画像が見れるよ(要VRML対応ブラウザ)

一様多面体

対応する双対図形

元の立体と双対図形の複合立体

立体の説明

大星形12面体(Great Stellated Dodecahedron)

大20面体(Great Icosahedron)

大星形12面体 大20面体

大星形12面体と大20面体の複合立体(Compound)

わかりにくいかもしれませんが、大星形12面体は各頂点ごとに、★のような形を3枚ずつ貼り合わせた形です。

ケプラー(Kepler)が考案した形です。

この形の双対図形がポワンソ(Poinsot)が考案した大20面体(Great Icosahedron)となります。

大星形12面体と大20面体の複合立体

小星形12面体(Small Stellated Dodecahedron)

大12面体(Great Dodecahedron)

小星形12面体 大12面体

小星形12面体と大12面体の複合立体(Compound)

わかりにくいかもしれませんが、大星形12面体は各頂点ごとに、★のような形を5枚ずつ貼り合わせた形です。

ケプラー(Kepler)が考案した形で、ケプラーはこの立体にハリネズミという名前をつけ特にかわいがりました。

この形の双対図形がポワンソ(Poinsot)が考案した大12面体(Great Dodecahedron)となります。

小星形12面体と大12面体の複合立体

大12面体(Great Dodecahedron)

小星形12面体(Small Stellated Dodecahedron)

大12面体 小星形12面体

大12面体と小星形12面体の複合立体(Compound)

わかりにくいかもしれませんが、大12面体は各頂点ごとに、正5角形を★のような配置に5枚ずつ貼り合わせた形です。

大星形12面体と大20面体の複合立体

大20面体(Great Icosahedron)

大星形12面体(Great Stellated Dodecahedron)

大20面体 大星形12面体

大20面体と大星形12面体の複合立体(Compound)

わかりにくいかもしれませんが、大20面体は各頂点ごとに、正3角形を★のような配置に5枚ずつ貼り合わせた形です。

大20面体と大星形12面体の複合立体

それでは、プラトンの立体の子供たちである アルキメデスの立体について説明しますね。

アルキメデスの立体の定義に(/*⌒-⌒)oレッツゴー♪