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準正多面体とは辺が同じ状態な立体のことである

日本では準正多面体(Quasi-regular Polyhedron)という言葉が、初等的な本においてどちらかというとアルキメデス多面体(Archimedean Polyhedron)の意味で使われているので、やや混乱ぎみです。本サイトでは、このへんの用語はしっかり区別して混乱を避けるようにします。

準正多面体(Quasi-regular Polyhedron)の定義

準正多面体とは、どの頂点の周りも同じ形[n, m, n, m, ...., n, m]をしていてる多面体のことと定義されています。nは正n角形、mは正m角形を指します。ここで必ずしもn≠mでなく、n=mの場合も認めるものとします。ここで注意が必要なのは、[4, 6, 4, 6]のように単に[n, m, n, m]といった形をしていればいいということではなく、[4, 6, 4, 6]を例にとって説明するなら、正方形(4のこと)をもう片方の正方形に重ね合わせたときに、正方形・正6角形ともにぴったり重ね合わさるような状態でなければいけないということです(言い返れば頂点の周りが点対称でなければいけない)。実は[4, 6, 4, 6]という形で立体をつくることはできるのですが、上記のように正方形をもう一方の正方形に重ね合わせたときに、ぴったり重ならないような形でしか立体をつくることができないため、[4, 6, 4, 6]は準正多面体ではないということになります。このへんかなりややこしいです。

その結果、どういうことがいえるかというと、

  1. 準正多面体は正多角形だけからできています。

  2. どの頂点の周りも同じ形をしています。そして1つの頂点に接している面の個数は偶数個となります。

  3. 凸多面体である必要はありません。

  4. すべての辺の状態が同じになります。立体全体を回転させて、どの辺を元の立体のどの辺に重ね合わせても、ぴったり重なります。単に回転させただけでは重ならない場合でも、鏡像を作れば重なります。

つまりこういうことなのです!

正多面体
どの面も、面とその周りが同じな立体
準正多面体
どの辺も、辺とその周りが同じな立体(ただし、1頂点に接する面の個数が偶数個でなければならない)
半正多面体
どの頂点も、頂点とその周りが同じな立体(ただし、正多面体を省く)
一様多面体
どの頂点も、頂点とその周りが同じな立体

更に全体の図

プラトンの立体 ━━━┓                   
           ┣━━ 正多面体 ━━━┓       
星形正多面体 ━━━━┛           ┃       
                       ┃       
アルキメデスの立体 ━┓           ┣━ 一様多面体
           ┃           ┃       
アルキメデスの角柱 ━┫           ┃       
           ┣━━ 半正多面体 ━━┛       
アルキメデスの反柱 ━┫                   
           ┃                   
非凸半正多面体 ━━━┛                   

上の図をみるとだいたいの構図が見えてくると思います^^;

アルキメデスの準正多面体

アルキメデスの立体のうちに、準正多面体は2つしかありません^^; 日本では「準正多面体」という言葉が「アルキメデスの立体」の別名として使われているので、こういうと驚く人もいるかもしれません。

ただ、上記の定義に従うと、立方8面体12・20面体の2つだけが準正多面体です。

残りのアルキメデスの立体は半正多面体ではありますが、準正多面体ではありません。

準正多面体にはどんな形があるか?

凸という条件を省いているため、次の17種類が準正多面体の全てです。これといった日本語名がないものが多いので、そういうのは私がつけておきました^^;

準正多面体を見る(要VRML対応ブラウザ)

準正多面体

対応する双対図形

元の立体と双対図形の複合立体

立体の説明

1. 正8面体(Octahedron) [3, 3, 3, 3]

これはプラトン多面体ですので、図は省きます。

2. 立方8面体(Cuboctahedron) [3, 4, 3, 4]

これはアルキメデス多面体ですので、図は省きます。

3. 12・20面体(Icosidodecahedron) [3, 5, 3, 5]

これはアルキメデス多面体ですので、図は省きます。

4. 大20・12面体(Great Icosidodecahedron) [3, 5/2, 3, 5/2]

大菱形30面体(Great Rhombic Triacontahedron)

大20・12面体 大菱形30面体

大20・12面体と大菱形30面体の複合立体(Compound)

この立体とすぐ下にある12・12面体の2つを研究したのが、フランスのバドロー(1881年)、ドイツのヘス(1878年)、オーストリアのピッチ(1882年)で、特にヘスとピッチは双対図形である大菱形30面体と中菱形30面体についても研究しました。

大20・12面体と大菱形30面体の複合立体

5. 12・12面体(Dodecadodecahedron) [5, 5/2, 5, 5/2]

中菱形30面体(Medial Rhombic Triacontahedron)

12・12面体 中菱形30面体

12・12面体と中菱形30面体の複合立体(Compound)

ひとつ上の大20・12面体と並んで特に大事な立体です。古くから研究されています。

12・12面体と中菱形30面体の複合立体

6. 小2重3角形20・12面体(Small Ditrigonal Icosidodecahedron) [5/2, 3, 5/2, 3, 5/2, 3]

小3重2辺形20面体(Small Triambic Icosahedron)

小2重3角形20・12面体 小3重2辺形20面体

小2重3角形20・12面体と小3重2辺形20面体の複合立体(Compound)

2重3角形とか、3重2辺形とかいうのは、私がつけた訳語です。もっと適切な訳語があるかもしれません。この立体と下の2つは、小・中・大みたく名前がつけられています^^;

小2重3角形20・12面体と小3重2辺形20面体の複合立体

7. 2重3角形12・12面体(Ditrigonal Dodecadodecahedron) [5/3, 5, 5/3, 5, 5/3, 5]

中3重2辺形20面体(Medial Triambic Icosahedron)

2重3角形12・12面体 中3重2辺形20面体

2重3角形12・12面体と中3重2辺形20面体の複合立体(Compound)

3重2辺形は「小」「中」「大」とありますが、特に「中」と「大」は似ています。VRMLで見ただけでは形の区別がつきません。なんと外側からみただけでは同じ形なのです。
中3重2辺形20面体の面 大3重2辺形20面体の面
左が「中」のほう、右が「大」のほうの面です。「中」のほうは単なる凹6角形なのに対して、「大」のほうは非凸6角形です。内部構造が違うだけなのです。
複合立体に注目してください。この立体は元の立体の辺と、双対図形の辺が接触していないのです。双対図形の辺を延長して、初めて元の立体の辺に直交します。

2重3角形12・12面体と中3重2辺形20面体の複合立体

8. 大2重3角形20・12面体(Great Ditrigonal Icosidodecahedron) [3, 5, 3, 5, 3, 5]

大3重2辺形20面体(Great Triambic Icosahedron)

大2重3角形20・12面体 大3重2辺形20面体

大2重3角形20・12面体と大3重2辺形20面体の複合立体(Compound)

「大」とつきますが、「中」のところで述べた通り双対図形の外観は全く同じです。ただし、双対図形の面の1辺の長さは長くなります。ひとつ上の「中3重2辺形20面体」の説明のところを参照してください。

大2重3角形20・12面体と大3重2辺形20面体の複合立体

9. 4半6面体(Tetrahemihexahedron) [3, 4, 3, 4]

4半6肢体(Tetrahemihexacron)

4半6面体 4半6肢体

4半6面体と4半6肢体の複合立体(Compound)

4半6面体というのは私が勝手につけた訳語です。この立体は面が7つあり、単側7面体という名前でも呼ばれています。hemiという言葉は「単側」と訳すほうが適切かもしれません。ただ「単側」という用語はわかりにくいと思います^^; hemiには「半分」「片側」といった意味があります。
双対図形の4半6肢体(Tetrahemihexacron)という名称も私が勝手につけた訳語です。この訳語はacronがギリシャ語で「肢」を意味することからつけました。ちなみにhedronというのは「側」という意味です。無限遠点を含むために非常に定義しにくく描画しにくいです^^; 無限に広がる面のふちを円弧で切って描画してあります。
4半6肢体は、厳密にはユークリッド空間上の多面体ではありません。ユークリッド空間に逆方向の無限遠点は同じ点として同一視する無限遠点を付加して作った拡大体の上で成り立つ多面体です。

4半6面体と4半6肢体の複合立体

10. 8半8面体(Octahemioctahedron) [3, 6, 3, 6]

8半8肢体(Octahemioctacron)

8半8面体 8半8肢体

8半8面体と8半8肢体の複合立体(Compound)

上の単側7面体という言い方にならえば、単側12面体といったところでしょうか。双対図形は8半8肢体(Octahemioctacron)で、無限遠点を含みます。

8半8面体と8半8肢体の複合立体

11. 立方半8面体(Cubohemioctahedron) [4, 6, 4, 6]

6半8肢体(Hexahemioctacron)

立方半8面体 6半8肢体

立方半8面体と6半8肢体の複合立体(Compound)

単側10面体とでもいうべき形です。双対図形は6半8肢体(Hexahemioctacron)で、無限遠点を含みます。

立方半8面体と6半8肢体の複合立体

12. 小20半12面体(Small Icosihemidodecahedron) [3, 10, 3, 10]

小20半12肢体(Small Icosihemidodecacron)

小20半12面体 小20半12肢体

小20半12面体と小20半12肢体の複合立体(Compound)

単側26面体とでもいうべき形です。双対図形は小20半12肢体(Small Icosihemidodecacron)で、無限遠点を含みます。

小20半12面体と小20半12肢体の複合立体

13. 小12半12面体(Small Dodecahemidodecahedron) [5, 10, 5, 10]

小12半12肢体(Small Dodecahemidodecacron)

小12半12面体 小12半12肢体

小12半12面体と小12半12肢体の複合立体(Compound)

単側18面体とでもいうべき形です。双対図形は小12半12肢体(Small Dodecahemidodecacron)で、無限遠点を含みます。

小12半12面体と小12半12肢体の複合立体

14. 小12半20面体(Small Dodecahemicosahedron) [5, 6, 5, 6]

小12半20肢体(Small Dodecahemicosacron)

小12半20面体 小12半20肢体

小12半20面体と小12半20肢体の複合立体(Compound)

単側22面体とでもいうべき形です。双対図形は小12半20肢体(Small Dodecahemicosacron)で無限遠点を含みます。

小12半20面体と小12半20肢体の複合立体

15. 大12半20面体(Great Dodecahemicosahedron) [5/2, 6, 5/2, 6]

大12半20肢体(Great Dodecahemicosacron)

大12半20面体 大12半20肢体

大12半20面体と大12半20肢体の複合立体(Compound)

上と同じく面の数が22面なので、単側22面体とでもいうべき形です。双対図形は大12半20肢体(Great Dodecahemicosacron)で、無限遠点を含みます。

大12半20面体と大12半20肢体の複合立体

16. 大12半12面体(Great Dodecahemidodecahedron) [5/2, 10/3, 5/2, 10/3]

大12半12肢体(Great Dodecahemidodecacron)

大12半12面体 大12半12肢体

大12半12面体と大12半12肢体の複合立体(Compound)

単側18面体とでもいうべき形です。面の個数が同じになることが多いですね^^; なので単側n面体という言い方では立体を区別できません。双対図形は大12半12肢体(Great Dodecahemidodecacron)で、無限遠点を含みます。

大12半12面体と大12半12肢体の複合立体

17. 大20半12面体(Great Icosihemidodecahedron) [3, 10/3, 3, 10/3]

大20半12肢体(Great Icosihemidodecacron)

大20半12面体 大20半12肢体

大20半12面体と大20半12肢体の複合立体(Compound)

単側26面体とでもいうべき形です。双対図形は大20半12肢体(Great Icosihemidodecacron)で、無限遠点を含みます。

大20半12面体と大20半12肢体の複合立体

それでは、次は半正多面体の説明をしますね。
半正多面体に(/*⌒-⌒)oレッツゴー♪