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双対(Dual)とは
夫婦のことである('▽'*)ニパッ♪

立体図形には必ず対になる図形があります。まるで夫婦のようです。

ある図形Aからみて対になる図形Bがあるとします。すると図形Bからみても図形Aが対になるのです。このように互いに対(つい)になっているので双対(そうつい)図形といいます。

中世の天文学者ケプラーは立体図形の夫婦関係を考察して、神聖なる夫婦として神秘学的にまとめました。この考え方は今日からみればあまり数学的でなく、ケプラーの霊的直感だけが根拠であるため、通常数学書においては用いられないできました。

ケプラーの考えは非常に直接的でかえって解りやすく、ある面においては数学的な真実を突いているように思えました。そのため本サイトで採用することにしました。では立体図形の夫婦関係について説明しますね♪

立体図形の夫婦関係の定義

ちなみに、2つ以上の立体を合体させることを複合(Compound)と数学では呼びます。双対図形に限らず2つ以上の立体を重ね合わせる場合、複合と呼びます。

これで双対(そうつい)の定義はおしまいです^^;

それじゃ あいまいでは?

「上の定義、とても数学の定義とは思えないんですけど?」

そう思っちゃった人に簡単に説明しておくと、プラトンの立体に限ってなら、双対とは面の中心の点を結んでできる立体のことです。ただし、この方法は、あとで述べるアルキメデスの立体では使えない方法なのです。

数学的な手法については、追々説明するとして……とにかく上の夫婦だ!!合体だ!!っていうのが双対の数学的な本質なのです。ホントです^^; それだけをしっかり覚えておいてください♪

そして夫婦である以上、子供たちもいます。

それってどんな形なの?

正4面体

正4面体(Tetrahedron)さんは独身です。

というのは正4面体の双対は正4面体だからです。なので独身というわけ。でも子供もいます。切頭4面体(Truncated Tetrahedron)さんです。これは処女から生まれたイエス・キリストの象徴とされています。

正4面体の双対

←これが正4面体の双対で、正4面体の各面の中心を結んでできる形です。そして双対も正4面体なので独身というわけです。いってみれば聖母マリアってことですね。夫のヨセフがいますけど^^;

これが処女懐胎の瞬間→

双対と元の形を複合させた立体です。各辺と各辺が交差しています。こんなふうに合体できる図形どうしが双対(夫婦)ということです♪

正4面体の複合

切頭4面体

←そして生まれたイエス・キリスト('▽'*)ニパッ♪

切頭4面体(Truncated Tetrahedron)っていわれる形で、アルキメデスの立体の1つです。

立方体

立方体(Cube)さんは独身ではありません。

立方体さんには正8面体さんっていう、かわいい奥さんがいます。子供たちは7人(そのうち1組が双子)もいます。長男が切頭立方体(Truncated Cube)さんです♪

立方体の双対

←これが立方体さんの奥さんの正8面体さんです。

なんで奥さんなの? 性別って誰が決めたの? って思ってる人がいるかもしれません。性別は前述のケプラーが決めたものです。彼は独特で神秘的な面もあった学者なので、その根拠は多分に霊的な直感によるところが大きいです。もっと平たくいうと、根拠なしってことです^^;

これが合体の瞬間→

各辺と各辺が交差してるのをよく観察してください。これは双対の本質のひとつです。辺と辺が交差するから辺の数は元の立体と双対では同じになります。

立方体の複合

切頭立方体

←そして生まれた立方体家の長男('▽'*)ニパッ♪

切頭立方体(Truncated Cube)っていわれる形で、アルキメデスの立体の1つです。

正8面体

正8面体(Octahedron)さんです。

上の立方体さんの奥様です。

正8面体の双対

←これがしっかりものの旦那の立方体さん。欠点はやや真四角なこと^^;

立方体家の一員は、夫婦と7人の子供たちで合計9人となります。

これが合体の瞬間→

双対図形の各面からもとの立体の頂点がつきだしているのを観察してください。このことから、元の立体の頂点の個数=双対図形の面の個数って関係が成り立ちます。

正8面体の複合

切頭8面体

←そして生まれた立方体家の長女('▽'*)ニパッ♪

切頭8面体(Truncated Octahedron)っていわれる形で、アルキメデスの立体の1つです。

正12面体

正12面体(Dodecahedron)さんにも、もちろん奥さんがいます。

正12面体さんには正20面体さんっていう、とてもよくできた奥さんがいます。子供たちは7人(そのうち1組が双子)もいます。人数は立方体家さんとこと同じですね。長男が切頭12面体(Truncated Dodecahedron)さんです。

正12面体の双対

←これが正12面体さんの奥さんです。

正3角形だけからなる8種類のデルタ多面体の中で一番ビッグなのがこの人です^^;

これが合体の瞬間→

何度か説明したとおり、元の立体と双対では辺の数は同じで、頂点と面の数は互い違いになるってことを、よく観察してくださいね。

正12面体の複合

切頭12面体

←そして生まれた正12面体家の長男('▽'*)ニパッ♪

切頭12面体(Truncated Dodecahedron)っていわれる形で、アルキメデスの立体の1つです。

正20面体

正20面体(Icosahedron)さんです。上の正12面体さんの奥様です。

正20面体の双対

←これが芸術家の旦那さんの正12面体さん。欠点はやや変わり者なこと^^;

正12面体家の一員は、夫婦と7人の子供たちで合計9人です。

これが合体の瞬間→

2つの立体がどうして合体できるのかを、じっくりみてよく考えてください。そうやって観察することで幾何学的な理解が深まります。理論よりも実際の立体をみて直観的に把握するほうが幾何学の場合いいです。

正12面体の複合

切頭20面体

←そして生まれた正12面体家の長女('▽'*)ニパッ♪

切頭20面体(Truncated Icosahedron)っていわれる形で、アルキメデスの立体の1つです。サッカーボールの形です。ってことはサッカーボールって女性だったのね^^;

これでプラトンの立体の双対とその複合の説明はおしまいです。

これらをみやすいように表にまとめておいたのでそれをみてね♪

プラトン立体の全部の表に(/*⌒-⌒)oレッツゴー♪