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アルキメデスの立体の配偶者たち

画像をクリックするとVRMLでぐるぐる回して見れます。(要VRML対応ブラウザ)

下記の表には便利なように元の立体(左上)と、双対図形(右側)と、その2つの複合立体(左下)を載せてあります。

独身の正4面体さんの一人息子の配偶者♪
(正4面体群)

3方4面体(Triakistetrahedron)
3方4面体 3方4面体の双対
3方4面体の複合
切頭4面体(Truncated Tetrahedron)をイエス・キリストの象徴と前述しました。その立体にも奥さんの立体がいます。右の図形がそうです。イエス・キリストに奥さんがいるわけがないので、そのへんは破綻ぎみです。
イエス・キリストの象徴だとしたのは西洋の学者で、私ではないのでそのへんご勘弁を^^;
この図形は正4面体の各面に正3角錐を乗せたような形で、3方4面体と呼ばれています。このようにq面体の各面ににp角錐を乗せたような形をp方q面体と呼びます。


立方体一家の子供たちの配偶者♪
(正8面体群)

3方8面体(Triakisoctahedron)
3方8面体 3方8面体の双対
3方8面体の複合
切頭立方体(Truncated Cube)さんの奥様です。
正8面体の各面に正3角錐を乗せたような形をしているので、3方8面体と呼ばれます。

4方6面体(Tetrakishexahedron)
4方6面体 4方6面体の双対
4方6面体の複合
切頭8面体(Truncated Octahedron)さんの旦那様です。
立方体の各面に正4角錐を乗せたような形をしているので、4方6面体と呼ばれます。

菱形12面体(Rhombic Dodecahedron)
菱形12面体 菱形12面体の双対
菱形12面体の複合
立方8面体(Cuboctahedron)さんの配偶者です。
この場合、菱形は「ひしがた」でなく「りょうけい」と読むのが普通です。「星形」は「せいけい」とも読みますが、どちらかというと「ほしがた」、双対は「そうたい」とは絶対に読まなくて「そうつい」と読むのが正しいです。なんだか読みがややこしいですね^^;
菱形を12枚つかった形なので、単純に菱形12面体と呼びます。

2重2方12面体(Disdyakisdodecahedron)
2重2方12面体 2重2方12面体の双対
2重2方12面体の複合
切頭立方8面体(Truncated Cuboctahedron)さんの配偶者です。
菱形12面体の各面に4角錐を乗せたような形をしています。ただ形が菱形なので、4方という言い方ができず、2重2方12面体という言い方になります。

凧形24面体(Trapezoidal Icositetrahedron)
凧形24面体 凧形24面体の双対
凧形24面体の複合
菱形立方8面体(Rhombicuboctahedron)さんの配偶者です。
この図形は従来、偏楯(へんじゅん)24面体とか、色々な訳語で呼ばれて来ました。どれもあまり適切な訳語でないと思われます。そのため京都大学数理解析研究所教授の一松信先生が「凧形24面体」という訳語を提案しました。それにならい、本サイトでもその訳語を採用しました。
Trapezoidという単語は「台形」「不等辺4角形」などの意味があります。「凧形」は「左右対称な台形」の双対図形です。日本語には「凧形」という便利な言葉があるので、これで表現したほうがいいと思います。

ニセ凧形24面体(Pseudo Trapezoidal Icositetrahedron)
ニセ凧形24面体 ニセ凧形24面体の双対
ニセ凧形24面体の複合
ニセ菱形立方8面体(Pseudo-rhombicuboctahedron)さんの配偶者です。
従って、この立体は立方体一家の一員ではありません。上の形と見比べるために参考までにここに乗せています。かなりよく見ないと上の形との違いがわかりません^^;
この立体の名称を色々調べたのですが、最初英語名も和名も見つけることができませんでした。その後英語名はみつけ、私がとりあえずつけていた名前と合致していました。和名は私が勝手につけたものです。
"Pseudo-rhombicuboctahedron"のことを「ねじれ菱形立方8面体」と訳すことが、日本では多いです。そのことからいくと、「ねじれ凧形24面体」あるいは「ねじれ偏楯24面体」などと訳すのが、これまでの伝統からいけば普通かもしれません。ただし「ねじれ」という言葉は"snub"の訳語として使われており、"snub"には幾何学上の定着した意味があるため、同じ単語をここで援用するのは徒に用語の混乱を招きかねないと私は判断しました。そのため「ねじれ」という言葉を避け、"pseudo"本来の意味である「ニセ」という訳語を選びました。

5角24面体(Pentagonal Icositetrahedron)
5角24面体 5角24面体の双対
5角24面体の複合
ねじれ立方体(Snub Cube)さんの配偶者です。
立方体家で唯一の双子のねじれ立方体さんですが、その配偶者も双子です。
5角形が24枚で出来てるので5角24面体といいます。全く同じ形をした5角形24枚でこんな立体ができるなんて、なんだかすごいって思いません?

5角24面体(Pentagonal Icositetrahedron)の左右対称形
5角24面体の左右対称形 5角24面体の左右対称形の双対
5角24面体の左右対称形の複合
ねじれ立方体(Snub Cube)さんの双子の配偶者です。
この合計7人が立方体一家の子供たちの配偶者です。
ただし数学的には合同ってのは、右足の靴と左足の靴は合同ととらえますので、この2つは1つと数えます。従い6種類と数えるのが数学的には正しいといえます。


正12面体一家の子供たちの配偶者
(正20面体群)

3方20面体(Triakisicosahedron)
3方20面体 3方20面体の双対
3方20面体の複合
切頭12面体(Truncated Cube)さんの奥様です。
正20面体の各面に正3角錐を乗せたような形をしているので3方20面体と呼ばれます。

5方12面体(Pentakisdodecahedron)
5方12面体 5方12面体の双対
5方12面体の複合
切頭20面体(Truncated Icosahedron)さんの旦那様です。
正12面体の各面に正5角錐を乗せたような形をしているので5方12面体と呼ばれます。

菱形30面体(Rhombic Triacontahedron)
菱形30面体 菱形30面体の双対
菱形30面体の複合
12・20面体(Icosidodecahedron)さんの配偶者です。
菱形を30枚つかった形なので、菱形30面体と呼びます。

2重2方30面体(Disdyakistriacontahedron)
2重2方30面体 2重2方30面体の双対
2重2方30面体の複合
切頭12・20面体(Truncated Icosidodecahedron)さんの配偶者です。
菱形30面体の各面に4角錐を乗せたような形をしています。ただ形が菱形なので、4方という言い方ができず、2重2方30面体という言い方になります。

凧形60面体(Trapezoidal Hexecontahedron)
凧形60面体 凧形60面体の双対
凧形60面体の複合
菱形12・20面体(Rhombicosidodecahedron)さんの配偶者です。凧形を60枚使った図形なので凧形60面体と呼びます。

5角60面体(Pentagonal Hexecontahedron)
5角60面体 5角60面体の双対
5角60面体の複合
ねじれ12面体(Snub Dodecahedron)さんの配偶者です。
正12面体家で唯一の双子のねじれ12面体さんですが、その配偶者も双子です。
5角形が60枚で出来てるので5角60面体といいます。全く同じ形をした5角形60枚でこんな立体ができるなんて、なんだかすごいって思いません?

5角60面体(Pentagonal Hexecontahedron)の左右対称形
5角60面体の左右対称形 5角60面体の左右対称形の双対
5角60面体の左右対称形の複合
ねじれ12面体(Snub Dodecahedron)さんの双子の配偶者です。
この合計7人が正12面体一家の子供たちの配偶者です。
ただし数学的には合同ってのは、右足の靴と左足の靴は合同ととらえますので、この2つは1つと数えます。従い6種類と数えるのが数学的には正しいといえます。

プラトンの立体の子供たちである「アルキメデスの立体」の双対図形をみてきました。
いよいよ次は複合立体についてです。次はそれについて説明しますね。
アルキメデス立体の複合立体を見る。