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アルキメデスの立体の配偶者たち

画像をクリックするとVRMLでぐるぐる回して見れます。（要VRML対応ブラウザ）

下記の表には便利なように元の立体（左上）と、双対図形（右側）と、その２つの複合立体（左下）を載せてあります。

独身の正４面体さんの一人息子の配偶者♪
(正４面体群)

３方４面体(Triakistetrahedron)
３方４面体 ３方４面体の双対
３方４面体の複合
切頭４面体(Truncated Tetrahedron)をイエス・キリストの象徴と前述しました。その立体にも奥さんの立体がいます。右の図形がそうです。イエス・キリストに奥さんがいるわけがないので、そのへんは破綻ぎみです。
イエス・キリストの象徴だとしたのは西洋の学者で、私ではないのでそのへんご勘弁を^^;
この図形は正４面体の各面に正３角錐を乗せたような形で、３方４面体と呼ばれています。このようにq面体の各面ににp角錐を乗せたような形をp方q面体と呼びます。

立方体一家の子供たちの配偶者♪
(正８面体群)

３方８面体(Triakisoctahedron)
３方８面体 ３方８面体の双対
３方８面体の複合
切頭立方体(Truncated Cube)さんの奥様です。
正８面体の各面に正３角錐を乗せたような形をしているので、３方８面体と呼ばれます。

４方６面体(Tetrakishexahedron)
４方６面体 ４方６面体の双対
４方６面体の複合
切頭８面体(Truncated Octahedron)さんの旦那様です。
立方体の各面に正４角錐を乗せたような形をしているので、４方６面体と呼ばれます。

菱形１２面体(Rhombic Dodecahedron)
菱形１２面体 菱形１２面体の双対
菱形１２面体の複合
立方８面体(Cuboctahedron)さんの配偶者です。
この場合、菱形は「ひしがた」でなく「りょうけい」と読むのが普通です。「星形」は「せいけい」とも読みますが、どちらかというと「ほしがた」、双対は「そうたい」とは絶対に読まなくて「そうつい」と読むのが正しいです。なんだか読みがややこしいですね^^;
菱形を１２枚つかった形なので、単純に菱形１２面体と呼びます。

２重２方１２面体(Disdyakisdodecahedron)
２重２方１２面体 ２重２方１２面体の双対
２重２方１２面体の複合
切頭立方８面体(Truncated Cuboctahedron)さんの配偶者です。
菱形１２面体の各面に４角錐を乗せたような形をしています。ただ形が菱形なので、４方という言い方ができず、２重２方１２面体という言い方になります。

凧形２４面体(Trapezoidal Icositetrahedron)
凧形２４面体 凧形２４面体の双対
凧形２４面体の複合
菱形立方８面体(Rhombicuboctahedron)さんの配偶者です。
この図形は従来、偏楯(へんじゅん)２４面体とか、色々な訳語で呼ばれて来ました。どれもあまり適切な訳語でないと思われます。そのため京都大学数理解析研究所教授の一松信先生が「凧形２４面体」という訳語を提案しました。それにならい、本サイトでもその訳語を採用しました。
Trapezoidという単語は「台形」「不等辺４角形」などの意味があります。「凧形」は「左右対称な台形」の双対図形です。日本語には「凧形」という便利な言葉があるので、これで表現したほうがいいと思います。

ニセ凧形２４面体(Pseudo Trapezoidal Icositetrahedron)
ニセ凧形２４面体 ニセ凧形２４面体の双対
ニセ凧形２４面体の複合
ニセ菱形立方８面体(Pseudo-rhombicuboctahedron)さんの配偶者です。
従って、この立体は立方体一家の一員ではありません。上の形と見比べるために参考までにここに乗せています。かなりよく見ないと上の形との違いがわかりません^^;
この立体の名称を色々調べたのですが、最初英語名も和名も見つけることができませんでした。その後英語名はみつけ、私がとりあえずつけていた名前と合致していました。和名は私が勝手につけたものです。
"Pseudo-rhombicuboctahedron"のことを「ねじれ菱形立方８面体」と訳すことが、日本では多いです。そのことからいくと、「ねじれ凧形２４面体」あるいは「ねじれ偏楯２４面体」などと訳すのが、これまでの伝統からいけば普通かもしれません。ただし「ねじれ」という言葉は"snub"の訳語として使われており、"snub"には幾何学上の定着した意味があるため、同じ単語をここで援用するのは徒に用語の混乱を招きかねないと私は判断しました。そのため「ねじれ」という言葉を避け、"pseudo"本来の意味である「ニセ」という訳語を選びました。

５角２４面体(Pentagonal Icositetrahedron)
５角２４面体 ５角２４面体の双対
５角２４面体の複合
ねじれ立方体(Snub Cube)さんの配偶者です。
立方体家で唯一の双子のねじれ立方体さんですが、その配偶者も双子です。
５角形が２４枚で出来てるので５角２４面体といいます。全く同じ形をした５角形２４枚でこんな立体ができるなんて、なんだかすごいって思いません？

５角２４面体(Pentagonal Icositetrahedron)の左右対称形
５角２４面体の左右対称形 ５角２４面体の左右対称形の双対
５角２４面体の左右対称形の複合
ねじれ立方体(Snub Cube)さんの双子の配偶者です。
この合計７人が立方体一家の子供たちの配偶者です。
ただし数学的には合同ってのは、右足の靴と左足の靴は合同ととらえますので、この２つは１つと数えます。従い６種類と数えるのが数学的には正しいといえます。

正１２面体一家の子供たちの配偶者
（正２０面体群）

３方２０面体(Triakisicosahedron)
３方２０面体 ３方２０面体の双対
３方２０面体の複合
切頭１２面体(Truncated Cube)さんの奥様です。
正２０面体の各面に正３角錐を乗せたような形をしているので３方２０面体と呼ばれます。

５方１２面体(Pentakisdodecahedron)
５方１２面体 ５方１２面体の双対
５方１２面体の複合
切頭２０面体(Truncated Icosahedron)さんの旦那様です。
正１２面体の各面に正５角錐を乗せたような形をしているので５方１２面体と呼ばれます。

菱形３０面体(Rhombic Triacontahedron)
菱形３０面体 菱形３０面体の双対
菱形３０面体の複合
１２・２０面体(Icosidodecahedron)さんの配偶者です。
菱形を３０枚つかった形なので、菱形３０面体と呼びます。

２重２方３０面体(Disdyakistriacontahedron)
２重２方３０面体 ２重２方３０面体の双対
２重２方３０面体の複合
切頭１２・２０面体(Truncated Icosidodecahedron)さんの配偶者です。
菱形３０面体の各面に４角錐を乗せたような形をしています。ただ形が菱形なので、４方という言い方ができず、２重２方３０面体という言い方になります。

凧形６０面体(Trapezoidal Hexecontahedron)
凧形６０面体 凧形６０面体の双対
凧形６０面体の複合
菱形１２・２０面体(Rhombicosidodecahedron)さんの配偶者です。凧形を６０枚使った図形なので凧形６０面体と呼びます。

５角６０面体(Pentagonal Hexecontahedron)
５角６０面体 ５角６０面体の双対
５角６０面体の複合
ねじれ１２面体(Snub Dodecahedron)さんの配偶者です。
正１２面体家で唯一の双子のねじれ１２面体さんですが、その配偶者も双子です。
５角形が６０枚で出来てるので５角６０面体といいます。全く同じ形をした５角形６０枚でこんな立体ができるなんて、なんだかすごいって思いません？

５角６０面体(Pentagonal Hexecontahedron)の左右対称形
５角６０面体の左右対称形 ５角６０面体の左右対称形の双対
５角６０面体の左右対称形の複合
ねじれ１２面体(Snub Dodecahedron)さんの双子の配偶者です。
この合計７人が正１２面体一家の子供たちの配偶者です。
ただし数学的には合同ってのは、右足の靴と左足の靴は合同ととらえますので、この２つは１つと数えます。従い６種類と数えるのが数学的には正しいといえます。

プラトンの立体の子供たちである「アルキメデスの立体」の双対図形をみてきました。
いよいよ次は複合立体についてです。次はそれについて説明しますね。
アルキメデス立体の複合立体を見る。