アルキメデスの立体に関する一番の問題点は、なんといっても厳密に定義することが難しいことにあります。そのため多くのサイトで、「アルキメデスの立体は未定義である」とか、「本によって意見が違う」とか色々書いてあります。
私はたくさん調べましたので、ここに「これぞ決定版」という意見を書きますが、やはり本によって色々な違いがあることをお断りしておきます。私の説明は、西洋の最新の幾何学における見解などを参考にしつつまとめたものです。
２次元の正多角形の重ね合わせかたと、同じ重ね合わせかたしか３次元なのにできない図形は興味深くないので、研究の対象外だともいえます。（つまり２次元の段階で研究すればよく、３次元の段階で研究するほどのことはないという意味です）。
これだけだと解りにくいので、例をあげると、例えば正三角柱━━これを正三角形２枚の間を３枚の正方形でつないで作ると、上の１と２の条件は満たしますが、正三角柱を正三角柱に重ね合わせる重ね合わせ方って、くるくる回して３通り、ひっくり返してまたくるくるで３通りの合計６通りしかありません。これは正三角形を正三角形に（裏返すことも含めて）重ねあわせる場合と、同じ個数の重ね合わせ方しかないということです。こんなふうに２次元の図形でも可能な重ね合わせ方しかできない図形は、２次元の段階で十分研究できてしまうので、真に３次元的とはいえず、３次元において研究する価値がないといえます。
そして、１と２の条件を満たすのに、真に３次元的でないためアルキメデスの立体から省かれた形はおおまかにわけて３通りあります。
これがどういう形なのかはクリックするとみれます（要VRML対応ブラウザ）。これらの形はみんな２次元でもできる程度の対称性しかもっていません。
ただ、ここで問題なことがいくつかあります。例えば、正多角柱（正４角柱を除く）のことを「アルキメデスの角柱」と呼んだり、正多角反柱（正３角反柱を除く）のことを「アルキメデスの反柱」と呼んだりすることがあるのです。また、ニセ菱形立方８面体をアルキメデスの立体に含める考え方もあります。要するにアルキメデスの立体の定義にはいくぶんの混乱が見られるのです。
それは上記の１と２の条件までは、どの本でもアルキメデスの立体の条件として採用しているのですが、３の条件について混乱が見られるためなのです。
これは多少難しい話になってしまいますが、上の重ね合わせるという操作は、数学では群論という分野の学問です。真に３次元的な重ね合わせ方は、正４面体群、正８面体群、正２０面体群って呼ばれる３種類しかないってことが解っています。なのでこの３つにアルキメデスの立体は全部分類されます。つまりアルキメデスの立体は真に３次元的な立体だということも同時に意味しています。
そして実はこの３つの分類が、このサイトで採用してる「独身の正４面体さん」・「立方体一家」・「正１２面体一家」という分類と同じものなのです。